Заочный конкурс XIX Турнира Архимеда для 6-7 классов


По информации  с сайта arhimedes.org, ученики 6-7 класса могут принять участие в конкурсе решений задач заочного конкурса.

Ребятам нашей школы надо попробовать свои силы. Особенно участникам кружка по математике. Решения высылаются до 30 марта 2010 г. по адресу: 121165, Москва, ул. Киевская, 24, редакция газеты «Математика», с пометкой на конверте: «Турнир».

В письмо следует также вложить конверт с маркой (и адресом школьника) – в нем будут высланы результаты проверки. В письме нужно указать номер школы, класс, фамилию, имя, отчество учителя математики.
Подробности смотрите на сайте конкурса.
 


Задачи заочного конкурса.


1. Восстановите пример: 

ОГОГО + УГУГУ  = УГУГУГ

Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры.


2. Пять одинаковых на вид кубиков весят соответственно 1000, 1001, 1002, 1004 и 1007 г. За какое наименьшее число взвешиваний на электронных весах можно найти кубик весом 1000 г?


3. Демографическая проблема. В некотором царстве 20% всех женщин замужем, 25% всех мужчин женаты, 20% населения составляют дети. Выясните, какой процент населения состоит в браке.


4. Рассеянный математик, переселившийся в новый район, забыл номер своей квартиры. Он лишь помнил, что номер двухзначный, является разностью квадратов двух чисел, меньшее из которых равно цифре десятков и вдвое больше числа единиц номера квартиры. Можно ли по этим данным восстановить номер квартиры?


5. Пентамино – фигурка, составленная из пяти одинаковых квадратиков, «склеенных» по стороне. Всего существует 12 различных видов пентамино (рис.1). Вася сумел составить из полного набора шесть фигур, изображенных на рис. 2, причем каждую фигурку пентамино использовал ровно один раз. Как ему это удалось?

Arhimed2010_1

 

Arhimed2010_2
 
            

6. Опять по шпалам. Вася идет по шпалам железной дороги, возможно не наступая на некоторые из них. Шпалы уложены так, что на любом стометровом участке ровно 200 шпал, причем  расстояние между шпалами не меньше 30 см, но не больше 60 см, а длина Васиного шага не превышает 80 см. При какой укладке шпал Вася сделает наибольшее число шагов на 1 км пути, а при какой наименьшее?


7. На склад привезли 99 одинаковых полных бочек серной кислоты неизвестной (возможно различной) концентрации. По условиям контракта необходимо, чтобы концентрация кислоты во всех бочках была одинакова. Как этого добиться, если в вашем распоряжении еще одна – пустая бочка и прибор, позволяющий переливать любое количество жидкости из бочки в бочку?


8. Счастливые пары. Сколько существует пар последовательных натуральных чисел, сумма цифр каждого из которых кратна 7?